Question

6．已知函数f（x）=x³-tx²+3x，函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，则实数t的取值范围是[5，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（1，3）上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．

解答 解：∵函数f（x）=x³-tx²+3x，
∴f′（x）=3x²-2tx+3，
若函数f（x）=x³-tx²+3x在区间（1，3）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（1，3）上恒成立，
∴t≥$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在（1，3）上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由对勾函数的图象和性质可得：函数在（1，2）上单调递减，（2，3）为增函数，
当x=3时，函数取最大值5，
∴t≥5，
即实数t的取值范围是[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．