Question

15．已知函数f（x）=ax⁴•lnx+bx⁴-c在x=1处取得极值-3-c．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=-3-c求出b，然后令导函数=0求出a即可；
（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；
（3）不等式f（x）≥-2c²恒成立即f（x）的极小值≥-2c²，求出c的解集即可．

解答 解：（1）由题意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3
又对f（x）求导得f′（x）=x³（4alnx+a+4b）
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12
（2）由（1）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；
当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数
因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）
（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≥-2c²
即2c²-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0，解得c≥$\frac{3}{2}$或c≤-1
所以c的取值范围为（-∞，-1]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．