Question

16．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O，D，E分别是棱AB，A₁B₁，AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB，AB=BC=CA=AA₁，且侧棱AA₁⊥平面ABC．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，以O 为原点，OC为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥平面BCD．
（2）求出平面BCC₁的法向量和平面BDC₁的法向量，利用向量法能求出二面角C-BC₁-D的余弦值．

解答 证明：（1）连结OC，∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O，D，E分别是棱AB，A₁B₁，AA₁的中点，
点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB，AB=BC=CA=AA₁，
且侧棱AA₁⊥平面ABC，
∴D₁O⊥平面ABC，CO⊥AB，
以O 为原点，OC为x轴，OB为y轴，OD为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=BC=CA=AA₁=4，则E（0，-2，2），F（0，-1，0），B（0，2，0），C（2$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，4），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DB}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{DC}$=（2$\sqrt{3}$，0，-4），
设平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2\sqrt{3}x-4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}$=0+$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=0，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
解：（2）B（0，2，0），C（2$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，4），C₁（2$\sqrt{3}$，0，4），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2$\sqrt{3}$，-2，4），$\overrightarrow{BC}$=（2$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，2，-4），
设平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=2\sqrt{3}x-2y+4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2\sqrt{3}x-2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=2\sqrt{3}{x}_{1}-2{y}_{1}+4{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{BD}=2{y}_{1}-4{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（0，2，1），
设二面角C-BC₁-D的平面角为β，
则cosβ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角C-BC₁-D的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．