Question

5．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线 C与曲线C'的极坐标的方程；
（2）若过点A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）（极坐标）且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l与曲线C交于M，N两点，试求|AM|•|AN|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入上述方程可得曲线C′．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得：曲线 C与曲线C'的极坐标的方程．
（2）点A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）化为直角坐标为（2，2），直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，代入椭圆方程得到关于t的一元二次方程，利用|AM|•|AN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
由坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入上述方程可得曲线C′：（x′）²+（y′）²=1．
曲线C与曲线C'的极坐标的方程分别为：$C：\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}α}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}α}}{4}=1，C'：ρ=1$．
（2）点A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$）的直角坐标为（2，2），
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，可得$\frac{31}{4}{t^2}+（{8+18\sqrt{3}}）t+16=0$，
∴$|{AM}|•|{AN}|=|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{64}{31}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、直线方程的应用、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．