Question

11．已知多面体ABCDE中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥AC，AE∥DO，AE⊥面ABC，O为AC的中点，EA=1．
（1）若P为AB的中点，求证：EP∥面BDC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EP∥面BDC．
（2）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵多面体ABCDE中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，
DE∥AC，AE∥DO，AE⊥面ABC，O为AC的中点，EA=1，
∴DO⊥平面ABC，BO⊥AC，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（0，-1，1），D（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}$=0，EP?平面BDC，
∴EP∥面BDC．
解：（2）$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{3}$，-1，1），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{3}a-b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设二面角E-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．