Question

6．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且△PAC是等边三角形，AC=2，AB⊥BC，且AB=BC．过点B的平面α与直线PC平行，且与平面PAC垂直，设α与AC交于点O，与PA交于点D．
（Ⅰ）在图中标出O、D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）若直线PB与平面ABC所成的角等于$\frac{π}{3}$，求平面BDO与平面PBC所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，AP中点D，连结OP、OB、OD、BD，推导出PO⊥AC，BO⊥AC，OD∥PC，从而平面BDO⊥平面PAC，PC∥平面BDO，由此能求出结果．
（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDO与平面PBC所成二面角的平面角的正切值．

解答 解：（Ⅰ）取AC中点O，AP中点D，连结OP、OB、OD、BD，
∵在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且△PAC是等边三角形，AC=2，AB⊥BC，且AB=BC．
∴PO⊥AC，BO⊥AC，OD∥PC，
∵平面ABC∩平面PAC=AC，∴PO⊥平面ABC，BO⊥平面PAC，
∵BO?平面BDO，∴平面BDO⊥平面PAC，
∵OD?平面BDO，PC?平面BDO，
∴PC∥平面BDO，
∵过点B的平面α与直线PC平行，且与平面PAC垂直，
∴平面BDO即为平面α，
∵α与AC交于点O，与PA交于点D，
∴O是AC中点，D是AP中点．
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABC，∴∠PBO是直线PB与平面ABC所成的角，
∵直线PB与平面ABC所成的角等于$\frac{π}{3}$，∴∠PBO=$\frac{π}{3}$，
∵△PAC是等边三角形，AC=2，AB⊥BC，且AB=BC，
∴PO=$\sqrt{3}$，AO=CO=BO=1，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B（1，0，0），D（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{OB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OD}$=（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
设平面BDO的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=a-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
设平面BDO与平面PBC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\sqrt{1-\frac{4}{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴平面BDO与平面PBC所成二面角的平面角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查点的位置的确定，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．