Question

14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α∈（0，$\frac{π}{2}$）），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为$\frac{1}{2}$，求直线l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程．把直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入上式并整理得t²-6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x²-4x+y²=0，即（x-2）²+y²=4．
把直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入上式并整理得t²-6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）²-20=0，解得$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{3}，sinα=\frac{2}{3}，t=\sqrt{5}$．
∴点M的直角坐标为$（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{3}）$．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=6cosα．
线段AB的中点对应的参数为${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=3cosα$．
则$-1+3{cos^2}α=\frac{1}{2}$，解得$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，α=\frac{π}{4}$．
∴直线l的普通方程为x-y+1=0．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．