Question

18．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若对任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁恒成立，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为函数g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）递减，即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．

解答 解：若对任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁恒成立，
即若对任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁恒成立，
即函数g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）递减，
g′（x）=$\frac{{-x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
而x-x²=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．