Question

1．已知函数f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若方程f（x）=2m-1在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不等的实根，求实数m的取值范围及两根之和；
（3）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围2x-$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出$sin（2x-\frac{π}{6}）$的范围，将方程根的问题转化为两个函数图象的交点问题，由条件和正弦函数的图象列出不等式，求出实数m的取值范围；
（3）由（1）和正弦函数的最值求出对应的x值，由题意和A的范围求出A的值，由正弦定理化简已知的条件，在△ABC中由余弦定理列出方程，求出b、c的值，由三角形的面积公式和等面积法求出△ABC内切圆的半径．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）=2$\sqrt{3}$cosxsinx-2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x-（1+cos2x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由0$≤x≤\frac{π}{2}$得，$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，则$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$-2≤2sin（2x-\frac{π}{6}）-1≤1$，则f（x）的值域是[-2，1]，
∵方程f（x）=2m-1在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不等的实根，
∴函数y=f（x）与y=2m-1的图象在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的交点，
则$2×\frac{1}{2}-1≤2m-1＜2×1-1$，解得$\frac{1}{2}≤m＜1$，
实数m的取值范围是$[\frac{1}{2}，1）$，
设两个不相等的实数根x₁，x₂，
由$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$得x=$\frac{π}{3}$，则x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）的一条对称轴，
∴两根之和x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
（3）由（1）得，当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$时，f（x）取到最大值，
此时$x=\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
由题意和0＜A＜π得，A=$\frac{π}{3}$，
设AB=c、AC=b、BC=a，△ABC的内切圆半径为r，则a=4，
∵sinC=2sinB，∴由正弦定理得，c=2b，
在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴16=b²+（2b）²-2b×2b×$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，则c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
则$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{8}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}=（4+\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}）r$，解得r=$\frac{2（3-\sqrt{3}）}{3}$，
∴△ABC内切圆的半径是$\frac{2（3-\sqrt{3}）}{3}$．

点评 本题考查了二倍角公式及变形、两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质，正弦、余弦定理的应用，以及方程根的转化，考查转化思想，化简、变形能力．