Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，求通项公式和a₇．

Answer 1

分析 2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n≥2时，变形为：2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n≥2时，变形为：2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n-1=1，
∴数列{2ⁿ⁺¹a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴2ⁿ⁺¹a_n=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴a₇=$\frac{8}{{2}^{8}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{32}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．