Question

4．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC．
（1）求二面角P-BC-A的大小
（2）求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，连结PO，AO，则∠POA是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大小．
（2）以O为原点，AO为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的大小．

解答 解：（1）∵棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∵PA=3，AC=4，PB=PC=BC，
∴PB=PC=BC=$\sqrt{9+16}$=5，∴AB=4，
取BC中点O，连结PO，AO，
∵PB=PC=BC=5，AB=AC=4，
∴PO⊥BC，AO⊥BC，
∴∠POA是二面角P-BC-A的平面角，
∵PA=3，AO=$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{25}{4}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，PO=$\sqrt{P{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{25-\frac{25}{4}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠POA=$\frac{A{O}^{2}+P{O}^{2}-P{A}^{2}}{2AO•PO}$=$\frac{\frac{39}{4}+\frac{75}{4}-9}{2×\frac{\sqrt{39}}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\frac{39}{2}}{\frac{\sqrt{39}•5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
$∠POA=arccos\frac{\sqrt{13}}{5}$．
∴二面角P-BC-A的大小为arccos$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
（2）以O为原点，AO为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（-$\frac{\sqrt{39}}{2}$，0，0），P（-$\frac{\sqrt{39}}{2}$，0，3），C（0，$\frac{5}{2}$，0），B（0，-$\frac{5}{2}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，3），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{39}}{2}$，-$\frac{5}{2}$，-3），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{39}}{2}$，$\frac{5}{2}$，-3），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\frac{\sqrt{39}}{2}x+\frac{5}{2}y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{39}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{39}$，-$\frac{39}{5}$，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{39}}{2}a-\frac{5}{2}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\frac{\sqrt{39}}{2}a+\frac{5}{2}b-3c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{39}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{39}$，0，$\frac{13}{2}$），
设二面角A-PC-B的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{39}{\sqrt{\frac{2496}{25}}•\sqrt{\frac{325}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴二面角A-PC-B的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查二面角的大小的求地法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理和向量法的合理运用．