Question

16．如图，AB为圆0的直径，C是圆上一点，∠ACB的平分线与圆O和AB的交点分别为D，E，点P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（I）试判断直线PC与圆O的位置关系．并说明理由；
（Ⅱ）若AB=10，BC=6，试求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，由CE平分∠ACB得∠ACE=∠BCE，再根据三角形外角性质得∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，则∠EAC=∠PCB，由AB为⊙O的直径得∠BAC+∠ABC=90°，加上∠ABC=∠OCB，则∠BAC+∠OCB=90°，所以∠PCB+∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理得到直线PC与⊙O相切；
（2）求出AC，利用角平分线的性质，即可求出BE．

解答 解：（I）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
而∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC=∠PCB，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC⊥OC
∴直线PC与⊙O相切；
（2）∵AB为圆0的直径，C是圆上一点，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵CE平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴BE=$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．