Question

2．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，M、N分别在AD₁、BC上移动，始终保持MN∥平面DCC₁D₁，设BN=y，MN=x，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由MN∥平面DCC₁D₁，过M点向AD做垂线，垂足为E，则ME=2AE=2BN，由此易得到函数y=f（x）的解析式，分析函数的性质，并逐一比照四个答案中的图象，得到函数的图象．

解答 解：MN∥平面DCC₁D₁，
则x=|MN|=$\sqrt{C{D}^{2}+（2BN）^{2}}=\sqrt{4{y}^{2}+1}$，
∴x²=4y²+1，即$y=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$．
即函数y=f（x）的解析式为
f（x）=$\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$（x≥1）．
其图象过（1，0）点，在区间[1，+∞）上呈凸状单调递增．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是线面平行的性质，函数的图象与性质等，根据已知列出函数的解析式是解答本题的关键，是中档题．