Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，且与椭圆x²+$\frac{y^2}{2}$=1有相同离心率． 
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点，且椭圆C上存在点Q，满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

解答 解：（1）∵焦距为2，∴c=1．
又∵椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
当λ=0时，由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立；
当λ≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，解得m²＜1+2k²…（*），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{λ}（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{λ}•\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{λ}（{y}_{1}+{y}_{2}）=\frac{1}{λ}•\frac{2m}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
代入到$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得${m}^{2}=\frac{{λ}^{2}}{4}（1+2{k}^{2}）$，
代入（*）式，得$\frac{{λ}^{2}}{4}（1+2{k}^{2}）＜1+2{k}^{2}$，
由1+2k²＞0，得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
综上λ∈（-2，2）．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．