Question

12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时有f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0，则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出导函数，根据单调性得出函数g（x）的解集，最后根据等价性得出答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g（x）为偶函数，g'（x）=$\frac{f'（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$，
当x＞0时，g'（x）＞0，函数递增，且g（1）=0，
g（x）＞0的解集等价于f（x）＞0的解集即（1，+∞），
根据偶函数的性质可知当x＜0时，
g（x）＞0的解集等价于f（x）＞0的解集为（-1，0），
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了利用构造函数解决问题，对条件的分析，转化思想的应用．