Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{x+2，x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有6个不同的解，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，3）
• B． （0，4）
• C． （0，4]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 设t=f（x），作出函数t=f（x）的图象，根据条件转化为一元二次方程根的分布问题，然后建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：设t=f（x），则方程等价为t²-at+b=0．
作出函数t=f（x）的图象如图：
当y=t≥2时，t=f（x）有两个根，
当0＜t＜2时，t=f（x）有三个根，
当t=0时，t=f（x）有两个根，
当t＜0时，t=f（x）有一个根，
若程f²（x）-af（x）+b=0有6个不同的解，
则等价为t²-at+b=0有两个不同的根，满足0＜t₁＜2，0＜t₂＜2，
设h（t）=t²-at+b，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4b≥0}\\{0＜-\frac{-a}{2}＜2}\\{h（0）=b＞0}\\{h（2）=4-2a+b＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4b≤{a}^{2}}\\{0＜a＜4}\\{b＞0}\\{-2a+b+4＞0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，

由$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=0}\\{4b={a}^{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}\right.$，即B（4，4），
其中0＜a＜4，
故实数a的取值范围是（0，4），
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合转化为一元二次方程根的分布，结合线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强，涉及的知识点较多．