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    16．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））
    （1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；
    （2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．

    分析 （1）椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用三角函数基本关系式可得：椭圆C的普通方程．把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐标方程可得极坐标方程．
    （2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$．由已知可得：在极坐标下，可设$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，分别代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：可得$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．即可得出．

    解答 解：（1）∵椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
    ∴椭圆C的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
    把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐标方程可得：$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{2}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，化为：ρ2+ρ2sin2θ=2．
    （2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$，
    由已知可得：在极坐标下，可设$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，
    分别代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：
    有${ρ_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}α}}}$，${ρ_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{cos}^2}α}}}$，
    ∴$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．
    则$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{3}{2}$即$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{3}{2}$．
    故$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$为定值$\frac{3}{2}$．

    点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、极坐标的应用、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{x+2，x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f2（x）-af（x）+b=0有6个不同的解，则a的取值范围为（　　）
    A．（0，3）B．（0，4）C．（0，4]D．[1，4]

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    7．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
    （Ⅰ）若h（x）=f（x）-2x，当a=-3时，求h（x）的单调递减区间；
    （Ⅱ）若函数f（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围．

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    4．对任意x，y∈R，恒有$sinx+cosy=2sin（\frac{x-y}{2}+\frac{π}{4}）cos（\frac{x+y}{2}-\frac{π}{4}）$，则$sin\frac{7π}{24}cos\frac{13π}{24}$等于（　　）
    A．$\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}$B．$\frac{{1-\sqrt{2}}}{4}$C．$\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{4}$D．$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{4}$

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    11．为了判断学生解几何题和代数题能力是否与性别有关，线随机抽取50名学生，得到如下2×2联列表：（单位：人）
    几何题代数题总计
    男同学22830
    女同学81220
    总计302050
    （1）能否据此判断有97.5%的把握认为解几何题和代数题能力与性别有关？
    （2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望E（X）．
    （3）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
    附表及公式
    K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
    P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx+cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
    （1）求函数f（x）的最小正周期；
    （2）求函数f（x）的最大值及取得最大值相应的x的集合．

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    8．若关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．

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    5．已知θ为第二象限角，若tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，则sinθ-cosθ的值为（　　）
    A．$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$B．$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$C．$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$D．$-\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$

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    1．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）
    （1）当a=-$\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的单调区间
    （2）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，求实数a的取值范围
    （3）求证：（1+$\frac{2}{2×3}$）（1+$\frac{4}{3×5}$）（1+$\frac{8}{5×9}$）…[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]＜e（其中n∈N+，e是自然数的底数）

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