Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx+cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值相应的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的坐标运算化简函数f（x），结合三角恒等变换即可求出f（x）的最小正周期，
（2）利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值及取得最大值相应的x的集合．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=（1+sin2x）+（sin²x-cos²x）
=1+sin2x-（cos²x-sin²x）
=1+sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$；
（1）f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）当sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1时，f（x）取得最大值为$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+1$；
由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$2x=\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$，
即$x=\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$；
所以f（x）取得最大值时x的集合为$\{x|x=\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z\}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是中档题目．