Question

1．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）
（1）当a=-$\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的单调区间
（2）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，求实数a的取值范围
（3）求证：（1+$\frac{2}{2×3}$）（1+$\frac{4}{3×5}$）（1+$\frac{8}{5×9}$）…[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]＜e（其中n∈N⁺，e是自然数的底数）

Answer 1

分析 （1）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）将问题转化为ax²+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，
从而求出a是范围
（3）当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立．$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），取自然对数，裂项求和，即可证明．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{4}$时，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=-$\frac{（x+2）（x-1）}{2（x+1）}$，（x＞-1），
由f′（x）＞0解得-1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，+∞）；
（2）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即ax²+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），
只需g（x）_max≤0即可，
由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
（i）当a=0时，g′（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，
∴g（x）≤g（0）=0成立，
（ii）当a＞0时，由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$=0，
因x∈[0，+∞），∴x=$\frac{1}{2a}$-1，
①若$\frac{1}{2a}$-1＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；
②若$\frac{1}{2a}$-1≥0，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$-1）上单调递减，
在区间（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；
（iii）当a＜0时，由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，
∴g（x）≤g（0）=0恒成立，
综上：实数a的取值范围是（-∞，0]．
（3）证明：当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立．
$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），
∵ln{（1+$\frac{2}{2×3}$）（1+$\frac{4}{3×5}$）（1+$\frac{8}{5×9}$）…[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]}
=ln（1+$\frac{2}{2×3}$）+ln（1+$\frac{4}{3×5}$）+ln（1+$\frac{8}{5×9}$）+…+ln[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]
＜$\frac{2}{2×3}$+$\frac{4}{3×5}$+$\frac{8}{5×9}$+…+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$
=2[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）]=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）＜1，
∴（1+$\frac{2}{2×3}$）（1+$\frac{4}{3×5}$）（1+$\frac{8}{5×9}$）…[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]＜e．

点评 本题考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，考查不等式的证明，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．