Question

13．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t}\\{y=m+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+$\frac{π}{3}$），点M的极坐标为（4，$\frac{π}{6}$），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．

Answer 1

分析 （I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；
（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．

解答 解：（I）将点M的极坐标（4，$\frac{π}{6}$）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+$\frac{π}{3}$），
可得4=asin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$），解得a=4，
由ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）即ρ=4（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ），
即有ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}$ρcosθ，即为x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，
即曲线C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4；
（II ）曲线C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4为圆心C（$\sqrt{3}$，1），半径为2，
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-3t}\\{1=m+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，可得m=2，t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
这时直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去t，可得x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
点M的极坐标为（4，$\frac{π}{6}$），可得M（2$\sqrt{3}$，2），
即有M到直线l的距离为d=$\frac{|2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$，
可得|MN|的长为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程、以及参数方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．