Question

3．在直角坐标系xOy中直线l过点P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）且倾斜角为α，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中曲线C的方程为ρ²（1+sin²θ）=1，已知直线l与曲线C交于不同两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把极坐标与直角坐标互化公式代入极坐标方程即可得出直角坐标方程．
（2）设直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数）$，代入曲线C的直角坐标方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，利用根与系数的关系、弦长公式可得|MN|．
利用△＞0．可得得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，即可得出结论．

解答 解：（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ²（1+sin²θ）=1得x²+2y²=1，
即曲线C的直角坐标方程为x²+2y²=1．
（2）设直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数）$，代入曲线C的直角坐标方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，
则${t_1}+{t_2}=-\frac{{\sqrt{10}cosα}}{{1+{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$|{MN}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}=\frac{{|{{t_1}{t_2}}|}}{{|{{t_1}-{t_2}}|}}=\frac{{\frac{3}{{2（1+{{sin}^2}α）}}}}{{\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}}}=\frac{3}{{4\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}$，
由题设知$△={（\sqrt{10}cosα）^2}-4（1+{sin^2}α）×\frac{3}{2}=4-16{sin^2}α＞0$得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，
故$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}∈（\frac{3}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与椭圆相交弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．