Question

12．探求凸多面体的面F、顶点数V和棱数E之间的关系得到的结论是（　　）

• A． 无确定关系
• B． F+E-V=2
• C． E+V-F=2
• D． F+V-E=2

Answer 1

分析 通过列举正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：V+F-E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．

解答 解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，举例如下
①正方体：F=6，V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F-E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：V+F-E=2
故选：D．

点评 本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．