Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），点P是曲线C₁与x轴正半轴的交点．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系轴，曲线C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和过点P的曲线C₁的切线极坐标方程；
（2）在曲线C₁上求一点Q（a，b），它到曲线C₂的距离最长．

Answer 1

分析 （1）曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）消去参数θ可得普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式可得极坐标方程．对于普通方程，令y=0，可得曲线C₁与x轴正半轴的交点P（2，0），则过P点的圆的切线方程为x=2，即可化为极坐标方程．
（2）曲线C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0，化为直角坐标方程：x+y+3=0．经过圆心与直线x+y+3=0垂直的直线为：y=x-1．与圆的方程联立即可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）消去参数θ可得普通方程：（x-1）²+y²=1．
展开化为x²+y²-2x=0，可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C₁与x轴正半轴的交点P（2，0），
则过P点的圆的切线方程为x=2，可得极坐标方程：ρcosθ=2．
（2）曲线C₂：ρcosθ+ρsinθ+3=0，化为直角坐标方程：x+y+3=0．
圆心C₁（1，0）到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
经过圆心与直线x+y+3=0垂直的直线为：y=x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，化为2x²-4x+1=0，解得x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$．
取x=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，解得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴Q点取$（\frac{2+\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$时，它到曲线C₂的距离最长，为2$\sqrt{2}$+1．．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．