Question

20．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，$|{AB}|=2\sqrt{2}$，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为$\sqrt{2}$，则∠APB的最大值为90^°．

Answer 1

分析 空间中到直线CD的距离为$\sqrt{2}$的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．

解答 解：空间中到直线CD的距离为$\sqrt{2}$的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，
c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，a=2，
于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，
∴∠APB=2∠APD=90°．
故答案为：90^°．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、椭圆的标准方程及其性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．