Question

15．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．
（1）证明：PB=PD；
（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．
（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，利用点B到平面PDC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．
又O是BD的中点，∴PB=PD．
（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．
∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，
∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{CB}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，
则点B到平面PDC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、等腰与等边三角形的性质、菱形的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．