Question

4．已知圆E过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心E在直线l：x+y-2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；
（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．

解答 （Ⅰ）解；设圆E的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
解得a=b=1，r=2   …（4分）
∴圆E的方程为（x-1）²+（y-1）²=4 …（5分）
（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…（7分）
由已知得，∠PME=90°=∠PNE
所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…（8分）
设P（a，b），则圆F的方程为$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}+（y-\frac{b+1}{2}）^{2}$=$（\frac{a+1}{2}-1）^{2}$+$（\frac{b+1}{2}-1）^{2}$
即x²+y²-（a+1）x-（b+1）y+a+b=0  ①…（9分）
又圆E的方程为x²+y²-2x-2y-2=0  ②
②-①得直线MN的方程为（a-1）x+（b-1）y-a-b-2=0…（10分）
又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，
∴（a-1）x+（-a-3）y=0…（11分）
∴a（x-y）-x-3y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-x-3y=0}\end{array}\right.$，
∴x=y=0
∴直线MN过定点（0，0）．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．