Question

15．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由三视图得纸盒是正四面体，由正视图和俯视图得求出正四面体的棱长，由题意得小正四面体的外接球是纸盒的内切球，利用“设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，列出方程求出小正四面体的棱长的最大值．

解答 解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，
∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，
设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴纸盒的内切球半径是$\frac{\sqrt{6}}{12}×5$=$\frac{5\sqrt{6}}{12}$，
设小正四面体的棱长是x，则$\frac{5\sqrt{6}}{12}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$x，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴小正四面体的棱长的最大值为$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查正四面体的三视图，正四面体的棱长与内切球的半径、外接球的半径关系式的应用，牢记结论是解题的关键，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．