Question

5．判断函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的单调性，并运用单调性定义予以证明．

Answer 1

分析 f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的单调递减，[1，+∞）上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答 解：f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的单调递减，[1，+∞）上单调递增．
理由如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{m}$）=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
①0＜m＜n＜1，则m-n＜0，mn＜1，即mn-1＜0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的单调递减．
②1≤m＜n，则m-n＜0，mn＞1，即mn-1＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上的单调递增．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．