Question

20．已知关于x的不等式|mx-2|+|mx+m|≥5．
（1）当m=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，求得不等式|mx-2|+|mx+m|≥5的解集．
（2）令f（x）=|mx-2|+|mx+m|，则由题意可得f（x）得最小值大于或等于5，利用绝对值三角不等式求得f（x）得最小值为|m+2|，从而求得m的范围．

解答 解：（1）当m=1时，此不等式|mx-2|+|mx+m|≥5，即|x-2|+|x+1|≥5．
由于|x-2|+|x+1|表示数轴上的x对应点到2、-1对应点的距离之和，
而-2和3对应点到2、-1对应点的距离之和正好等于5，
故|x-2|+|x+1|≥5 的解集为{x|x＜-2，或x＞3}．
（2）根据关于x的不等式|mx-2|+|mx+m|≥5的解集为R，可得|mx-2|+|mx+m|≥5恒成立．
令f（x）=|mx-2|+|mx+m|，则f（x）得最小值大于或等于5，
∵f（x）≥|mx-2-（mx+m）|=|m+2|，
∴|m+2|≥5，∴m+2≥5，或m+2≤-5，即 m≥3 或m≤-7，
∴实数m的取值范围为{x|m≥3 或m≤-7}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．