Question

【题目】已知函数（且）

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，设函数，函数，

①若恒成立，求实数的取值范围；

②证明：

Answer 1

【答案】（1）时函数的单调递增区间是；时函数的单调递增区间是;（2）①;②详见解析．

【解析】

试题分析：（1）第一步先求，第二步讨论或时，的解集；

（2）①首先得到函数，再求其导数，若恒成立，即，将问题转化为求函数的最小值，利用导数求的最小值；

②由①知时，在上恒成立，当时等号成立，，令，累加可得结论．

试题解析：解：（1），令．

当时，解得；当时，解得，

所以时函数的单调递增区间是；

时函数的单调递增区间是

（2）①，由题意得，

因为，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）．

②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，

，令，累加可得

即