Question

（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，且过点Q(1，）．

   （1) 求椭圆C的方程；

    (2) 若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线

上，且满足 (O为坐标原点），求实数t的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

 

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）利用已知的性质离心率得到a,c比例关系，同时要结合过点，得到椭圆的方程。

（2）中利用由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

与椭圆方程联立，结合韦达定理以及向量关系式得到k的关系式，借助于均值不等式求解最值。

解：（1）设椭圆的焦距为，因为离心率为，，

所以                                  --------------2分

设椭圆方程为又点在椭圆上，--------------3分

所以椭圆方程为                              --------------4分

（2）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由    得

，得：，即  -------6分

设， 

,，显然时；当时，

，-------8分

因为点在直线上所以

即                       -------9分

因为

（当且仅当时取等号）（因为）  

  -------11分

综上：                                               -------12分