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已知圆C的方程为x2+y2=4
(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2
3
,求直线l的方程
(2)过动点M(x,y)作圆的切线,切点为N,若|MN|=|MP|,求动点M的轨迹方程.
分析:(1)分类讨论:①当直线l垂直于x轴时;②若直线l不垂直于x轴.对于②,设其方程为y-2=k(x-1),结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得k值,从而解决问题.(2)将条件|MN|=|MP|,转化为|CM|2-r2=|MP|2可求.
解答:解:(1)(Ⅰ)①当直线l垂直于x轴时,
则此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为 (1,
3
)
(1,-
3
)
,其距离为2
3
满足题意
②若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d,则 2
3
=2
4-d2
,得d=1,∴1=
|-k+2|
k2+1
k=
3
4
,故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1
(2)设动点M(x,y),过M作圆的切线,切点为N,则MN|=
CM2-r2
,∵|MN|=|MP|,∴|CM|2-r2=|MP|2,∴2x+4y-9=0
点评:本题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题
练习册系列答案
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x2
4
+
y2
12
=1
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x+y-4=0
x+y-4=0

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x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆T的方程;
(2)是否存在斜率为
1
2
的直线l与曲线C交于P、Q两不同点,使得
OP
OQ
=
5
2
(O为坐标原点),若存在,求出直线l的方程,否则,说明理由.

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同步练习册答案
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