Question

分别以双曲线G：的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C，过椭圆C的右焦点作与x、y两轴均不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在y轴上是否存在点N（0，n），使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）依题意可设椭圆C的方程为，a²=4，c²=2，b²=2．由此可知椭圆C的方程为
（II）椭圆C的右焦点为，得设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记AB的中点为M（x，y），，由此入手能够推导出n的取值范围．
解答：解：（I）依题意可设椭圆C的方程为，
且a²=2+2+=4，c²=a²-b²=2，∴b²=2．（2分）
所以椭圆C的方程为（4分）
（II）椭圆C的右焦点为，


得（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记AB的中点为M（x，y），
，
∴，
若存在点，
等价于存在点，
从而，（8分）
解得，
当时取等号．（10分）
当
当且仅当时取等号．（11分）
所以存在点
且n的取值范围是（14分）
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．