Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以抛物线y2=4

3

x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=

1

mn

y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知：PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以椭圆C₁：

x2

4

+y2=1．设C₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1，由相似比为2可求出椭圆C₂的方程．（2）由题设条件知

m2

4

+n2=1，设点Q（x₀，y₀），由题设条件能推出4

x

2 0

-4

y

2 0

=

4

m2

-

4n2

m2

=

4(1-n2)

m2

=

4• m2 4

m2

=1，
由此可知点Q在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）椭圆C₁：

x2

4

+y2=1，相似比为b，则椭圆C_b的方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

y=-x+m x2-4y2=4b2

?5x2-8mx+4m2-4b2=0，然后利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）椭圆的一个焦点为F1(

3

，0)，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以椭圆C₁：

x2

4

+y2=1
设C₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1，相似比为2，a₂=4；b₂=2，所以椭圆C₂：

x2

16

+

y2

4

=1
（2）点P（m，n）在椭圆上，则

m2

4

+n2=1，设点Q（x₀，y₀）

y0=nx0 x 2 0 = 1 mn y0

?

x0= 1 m y0= n m

（7分）4

x

2 0

-4

y

2 0

=

4

m2

-

4n2

m2

=

4(1-n2)

m2

=

4• m2 4

m2

=1，
所以点Q在双曲线4x²-4y²=1上
（3）椭圆C₁：

x2

4

+y2=1，相似比为b，则椭圆C_b的方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1（11分）
由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

y=-x+m x2-4y2=4b2

?5x2-8mx+4m2-4b2=0，
△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0?5b²＞m²（13分）
由韦达定理知：x0=

4m

5

，y0=-x0+m=

1

5

m，
E（x₀，y₀）在直线y=x+1上，
则

m

5

=

4m

5

+1?m=-

5

3

，所以b2＞

9

5

?b＞

3 5

5

（15分）
此时正方形的边长为

|BD|

2

，所以正方形的面积为f(b)=(

|BD|

2

)2|BD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

5

5b2- 25 9

所以f(b)=

16

5

b2-

16

9

(b＞

3 5

5

)

点评：本题综合考查椭圆的性质及其综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．