Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=2n＋2－4.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意，分类讨论n≥2和n=1两种情况可得数列{an}的通项公式为an=2n＋1，n∈N*.

(2)结合(1)的结果可知bn=anlog2an=(n＋1)·2n＋1，错位相减可得数列{bn}的前n项和Tn=n·2n＋2.

试题解析：

(1)由题意，Sn=2n＋2－4，

n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋2－2n＋1=2n＋1，

当n=1时，a1=S1=23－4=4，也适合上式，

∴数列{an}的通项公式为an=2n＋1，n∈N*.

(2)∵bn=anlog2an=(n＋1)·2n＋1，

∴Tn=2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①

2Tn=2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②

②－①得，

Tn=－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2

=－23－＋(n＋1)·2n＋2

=－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2

=(n＋1)·2n＋2－23·2n－1

=(n＋1)·2n＋2－2n＋2=n·2n＋2.