Question

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、D₁B的中点．
求证：（1）EF∥平面ABCD；
（2）AC⊥平面D₁DBB₁．

Answer 1

分析 （1）由E、F分别是D₁D、D₁B的中点，可证EF∥DB，即可判定EF∥面ABCD．
（2）易证AC⊥DD₁，AC⊥DB，即可证明AC⊥平面D₁DBB₁．

解答 （本小题满分15分）
（1）证明：∵E、F分别是D₁D、D₁B的中点，
∴EF∥DB，
又EF?面ABCD，DB?面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，
∴AC⊥DD₁．
∵正方形ABCD，∴AC⊥DB，
又DD₁∩DB=D，
DD₁，DB?平面D₁DBB₁，
∴AC⊥平面D₁DBB₁．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．