Question

9．设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把△ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于P，设AB=x，则△ADP的最大面积为108-72$\sqrt{2}$；相应的x=6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，则AD=12-x，利用勾股定理得打PD，再根据三角形的面积公式个基本不等式的性质，即可求出

解答 解∵设AB=x，则AD=12-x，又DP=PB′，AP=AB′-PB′=AB-DP，即AP=x-DP，
∴（12-x）²+PD²=（x-PD）²，得PD=12-$\frac{72}{x}$，
∵AB＞AD，
∴6＜x＜12，
∴△ADP的面积S=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$（12-x）（12-$\frac{72}{x}$）=108-6（x+$\frac{72}{x}$）≤108-6•2$\sqrt{72}$=108-72$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{72}{x}$即x=6$\sqrt{2}$时取等号，
∴△ADP面积的最大值为108-72$\sqrt{2}$，此时x=6$\sqrt{2}$；
故答案为：$108-72\sqrt{2}$、$6\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式和基本不等式的性质的运用．