Question

20．设OADB是平行四边形，其对角线相交于C点，$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，
试求向量$\overrightarrow{MN}$与向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的关系．

Answer 1

分析 根据题意，把向量$\overrightarrow{MN}$用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$来表示，可先表示出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{MC}$以及$\overrightarrow{CN}$，再表示出$\overrightarrow{MN}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{0B}$）；
又∵$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）；
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查了向量的线性运算的应用问题，也考查了数形结合的数学思想，是基础题目．