Question

16．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且$\frac{cosB}{cosC}+\frac{b}{2a+c}=0$
（1）求B的大小；
（2）若$b=\sqrt{21}，a+c=5$，求△ABC的面积．
（3）若$b=\sqrt{3}$，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一：由正弦定理边化角可得$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，结合sinA≠0，化简整理可得$cosB=-\frac{1}{2}$，可求B的大小；
方法二：由余弦定理角的三角函数值化为边可得：$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}•\frac{2ab}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}+\frac{b}{2a+c}=0$化简得$cosB=-\frac{1}{2}$，从而可求B的大小．
（2）由余弦定理可得21=a²+c²+ac，解得ac=4，利用三角形面积公式即可得解．
（3）由余弦定理及基本不等式可得$ac={（a+c）^2}-3≤{（\frac{a+c}{2}）^2}$，令t=a+c则${t^2}-3≤{（\frac{t}{2}）^2}$，可解得-2≤t≤2又t=a+c＞b，即得$\sqrt{3}＜a+c≤2$，从而得解．

解答 解：（1）方法一：由正弦定理得 $\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
∴（2cosB+1）•sinA=0，
∵sinA≠0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
方法二：由余弦定理得：$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}•\frac{2ab}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}+\frac{b}{2a+c}=0$
化简得a²+c²-b²+ac=0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴21=a²+c²+ac，
∴21=（a+c）²-ac，
∴ac=25-21=4，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
（3）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴3=a²+c²+ac，
∴3=（a+c）²-ac，
∴$ac={（a+c）^2}-3≤{（\frac{a+c}{2}）^2}$，
令t=a+c则${t^2}-3≤{（\frac{t}{2}）^2}$，
∴-2≤t≤2又t=a+c＞b，
∴$\sqrt{3}＜a+c≤2$，
∴当且仅当a=c=1，△ABC的周长的最大值为$2+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．