Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C+$\sqrt{3}$cos（A+B）=0
（1）若a=4，c=$\sqrt{13}$，求△ABC的面积；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，cosB＞cosC，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先化简条件求出C的大小，结合三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）由A=$\frac{π}{3}$，cosB＞cosC，求出C的大小，结合向量的数量积公式进行化简即可求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：（1）∵sin2C+$\sqrt{3}$cos（A+B）=0
∴2sinCcosC-$\sqrt{3}$cosC=0，
即cosC（2sinC-$\sqrt{3}$）=0，
即cosC=0，或sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即C=$\frac{π}{2}$或C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$，
∵a=4，c=$\sqrt{13}$，
∴a＞c，
即C不是最大值，
则C=$\frac{π}{3}$，
则c²=b²+a²-2abcos$\frac{π}{3}$，
即13=16+b²-2b×$4×\frac{1}{2}$，
即b²-4b+3=0，
解得b=1或b=3，
若b=1，则三角形的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
若b=3，则三角形的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知C=$\frac{π}{2}$或C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$，
若A=$\frac{π}{3}$，
则C=$\frac{2π}{3}$不成立，舍去，
∵cosB＞cosC，
∴B＜C，
则C＞$\frac{π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，
即三角形为直角三角形．
则b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=accos150°-0-3bccos120°=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ac+$\frac{3}{2}$bc=-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$c²+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$c²=$-\frac{3}{4}$c²+$\frac{3}{4}$c²=0

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出C的大小是解决本题的关键．考查学生的计算能力．