Question

3．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现从中选出3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f（x），则f（x）_max=$\frac{119}{120}$．

Answer 1

分析 列出关于f（x）的解析式，展开组合数整理成关于变量的一元三次函数形式，根据自变量的取值范围，对于一元三次函数求解，借助于导数求最值．

解答 解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动共有C₁₀³种结果，
至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加，没有女生去参加共有C₁₀³-C_x³种结果，（3≤x≤9），
∴根据古典概型和对立事件的概率公式得到f（x）=1-$\frac{{C}_{x}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=1-$\frac{1}{720}$（x³-3x²+2x），（3≤x≤9），x∈N，
则f′（x）=-$\frac{1}{720}$（3x²-6x+2）=-$\frac{1}{720}$[3（x-1）²-1]，
∵x∈[3，9]，
3（x-1）²-1＞0恒成立，
∴f′（x）在x∈[3，9]上恒小于0，
∴f（x）在[3，9]上为减函数．
∴f（3）最大，
∴f（x）_max=f（3）=1-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=1-$\frac{1}{120}$=$\frac{119}{120}$，
故答案为：$\frac{119}{120}$．

点评 本题考查等可能事件的概率和导数，是一个综合题，可以作为高考题，对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．