Question

4．已知函数f（x）=ax-（1+a）lnx-$\frac{1}{x}$，其中a为实数．
（1）求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（2）已知函数f（x）的图象在x=2处的切线与x轴平行，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-bx（1≤x≤2）}\\{（1-b）x-1（2＜x≤3）}\end{array}\right.$．且对任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的最小值（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，集合函数的单调性，从而求出函数的极值点；
（2）问题等价于g（x₂）≤-f（x₁），通过讨论b法范围，求出g（x）的最小值，从而求出b的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1+a}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，x＞0-------（2分）
①若a＞0，则
当$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1时，f′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$；f′（x）＜0⇒1＜x＜$\frac{1}{a}$
f（x）的单调增区间为（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞），减区间为（1，$\frac{1}{a}$）
此时f（x）的极大值点为1，极小值点为$\frac{1}{a}$；
当$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1时，同理，此时f（x）的极大值点为$\frac{1}{a}$，极小值点为1；
当a=1时，没有极值点；
②若a＜0，则f′（x）＞0⇒0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1
此时f（x）的极大值点为1，没有极小值点．
综上，若a＜0，则f（x）的极大值点为1，没有极小值点；
若0＜a＜1，则f（x）的极大值点为1，极小值点为$\frac{1}{a}$；
若a=1，则没有极值点；
若a＞1时，则f（x）的极大值点为$\frac{1}{a}$，极小值点为1．-------（6分）
（2）易知，f′（2）=0⇒a=$\frac{1}{2}$，由（1）可知函数f（x）的单调增区间为（0，1）和（2，+∞），减区间为（1，2），
又f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{e}{2}$-$\frac{1}{e}$-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，可知当x∈（0，e]时，≤-$\frac{1}{2}$
而f（x₁）+g（x₂）≤0?g（x₂）≤-f（x₁），又x₁∈（0，e]时，
-f（x₁）≥$\frac{1}{2}$由已知，应存在x∈[1，3]，使得g（x）_min≤$\frac{1}{2}$，-------（8分）
当b＜0时，g（x）在[1，3]上递增，g（x）_min=g（1）=1-b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{2}$，不合题意；
当b＞1时，g（x）在[1，3]上递减，g（x）_min=g（3）=2-3b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{2}$，故b＞1，
当0≤b≤1时，若x∈[1，2]，g（x）=1-bx，g（2）≤g（x）≤g（3），
若x∈[2，3]，g（x）=（1-b）x-1，g（2）≤g（x）≤g（3），
故g（x）_min=g（2）=1-2b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{4}$，
故$\frac{1}{4}$≤b≤1，
综上，b≥$\frac{1}{4}$，即b_min=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，导数的应用，熟练掌握导数的综合应用是解答此类问题的关键，本题难度较大．