Question

9．如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是（　　）

• A． 19π
• B． 28π
• C． 67π
• D． 76π

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

解答 解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，
一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，

三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，
由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
由棱柱的高为4，则球心距d=2，
外接球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR²=28π，
故选：B

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．