Question

1．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ） 求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ） 求直线CC₁与平面AC₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证A₁O∥平面AB₁C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁O与平面AB₁C内一直线平行，连接CO、A₁O、AC、AB₁，利用平行四边形可证A₁O∥B₁C，又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D₁O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面AC₁D₁的法向量，利用向量夹角公式即可求出直线CC₁与平面AC₁D₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，则四边形ABCO为正方形，
所以OC=AB=A₁B₁，且OC∥AB∥A₁B₁，
故四边形A₁B₁CO为平行四边形，所以A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，所以A₁O∥平面AB₁C．…（5分）
（Ⅱ）解：因为D₁A=D₁D，O为AD的中点，所以D₁O⊥AD，
又侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，交线为AD，
故D₁O⊥底面ABCD．…（6分）
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则D₁（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A₁（0，-2，1），B（1，-1，0），$\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=\overrightarrow{DC}=（{1，-1，0}）$，$\overrightarrow{A{D_1}}=（{0，1，1}）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=\overrightarrow{D{D_1}}=（{0，-1，1}）$，…（7分）
设平面AC₁D₁的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{D_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ z=-y\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow n=（{1，1，-1}）$，…（10分）
设直线CC₁与平面AC₁D₁所成角为θ，则
$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{C{C_1}}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{C{C_1}}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{3}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（13分）
所以直线CC₁与平面AC₁D₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．