Question

9．己知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a，x≤0}\\{x-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，进而作出函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}\\，\\ x≤0}\\{x-\frac{1}{x}\\ \\，\\ x＞0}\end{array}\right.$的图象，分析其图象与函数f（x）的图象的位置关系，即可得答案．

解答 解：根据题意，假设f（t）=0，
则当t≤0时，有e^t-a=0，则t=lna，（a＞0）
当t＞0时，有t-$\frac{1}{t}$=1，解可得t=1，
如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，
即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，
作出函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}\\，\\ x≤0}\\{x-\frac{1}{x}\\ \\，\\ x＞0}\end{array}\right.$的图象，将其图象x≤0的部分向上或向下平移|a|个单位可得函数f（x）的图象，
分析可得，函数f（x）的图象只可能与y=1有且只有一个交点，
且a的取值范围是（-∞，-1]∪（1，+∞）；
故答案为：（-∞，-1]∪（1，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的零点和方程的根的关系，运用分类讨论的思想和函数的值域是解题的关键．