Question

6．已知数列﹛a_n﹜满足a_n+1=$\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-a_n^2}$，且a₁=$\frac{1}{2}$，则该数列前2013项和等于（　　）

• A． 1509.5
• B． 1508.5
• C． 1509
• D． 1508

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值可知该数列奇数项为$\frac{1}{2}$、偶数项为1，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-a_n^2}$，且a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
a₃=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{a}_{2}-{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{1-{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以2为周期的周期数列，
且奇数项为$\frac{1}{2}$、偶数项为1，
∴该数列前2013项和等于：1007•$\frac{1}{2}$+1006•1=1509.5，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．