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设定义在R的函数R. 当时,取得极大值,且函数的图象关于点对称.
(I)求函数的表达式;
(II)判断函数的图象上是否存在两点,使得以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标在区间上,并说明理由;
 (III)设),求证:.
(I).
(II)两点的坐标分别为.
(III)见解析
(I)将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象,  
∴ 函数的图象关于点对称,即为奇函数. 
.                       ……………………………..2分
由题意可得,解得.
.                          ……………………………..4分
  (II)存在满足题意的两点.                         ……………………………..6分
由(I)得.
假设存在两切点,且.
.   
,∴

从而可求得两点的坐标分别为.
…………………………….9分
(III)∵当时,,∴ 上递减.
由已知得,∴,即.
……………………………..11分
时,时,
上递增,上递减.
,∴.  
,且
.          ……………………………13分
.  ………………………..14分
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数,它们的定义域都是,其中
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,对任意,求证:
(Ⅲ)令,问是否存在实数使得的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)若处的切线与直线垂直,求的值
(2)证明:对于任意的,都存在,使得成立

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的最大值为M。
(1)当时,求M的值。
(2)当取遍所有实数时,求M的最小值
(以下结论可供参考:对于,当同号时取等号)
(3)对于第(2)小题中的,设数列满足,求证:

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设函数,求函数f(x)的单调区间及其极值.

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已知的图象经过点,且在处的切线方程是
(1)  求的解析式;
(2)  点是直线上的动点,自点作函数的图象的两条切线(点为切点),求证直线经过一个定点,并求出定点的坐标。

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已知函数f(x)=
(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求a的取值范围;
(2)是否存在实数a>0,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出a的取值范围?若不存在,请说明理由。

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已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若为大于0的常数),求的最大值.

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已知函数的两个极值点,
(1)求的取值范围;
(2)若,对恒成立。求实数的取值范围;

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