Question

5．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2，则函数y=f（x）-|log₃x|的零点个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据条件可以得出f（x）是周期为2的周期函数，且x∈[-1，0]时，f（x）=2，从而得出任意的x∈R，f（x）=2，而函数y=f（x）-|log₃x|零点个数等于函数f（x）的图象和y=|log₃x|的图象交点个数，从而画出f（x）和y=|log₃x|的图象即可得出函数y=f（x）-|log₃x|的零点个数．

解答 解：偶函数f（x+2）=f（x）；
∴f（x）是周期为2的周期函数；
x∈[0，1]时，f（x）=2，∴x∈[-1，0]时，f（x）=2；
∴任意x∈R，f（x）=2；
函数y=f（x）-|log₃x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=|log₃x|的图象的交点个数；
在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=|log₃x|的图象，如图所示：

显然函数y=f（x）的图象与函数y=|log₃x|的图象有2个交点；
∴函数y=f（x）-|log₃x|的零点个数是2．
故选：B．

点评 考查偶函数的概念，对于偶函数，求对称区间上解析式的方法，周期函数的定义，以及函数零点的概念，函数y=f（x）-g（x）的零点和函数f（x）与g（x）图象交点的关系．