Question

17．函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标差是3π，又图象过点（0，1），求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间$[-\frac{3π}{2}，0]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间$[-\frac{3π}{2}，0]$上的最值．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{2}=3π∴T=6π∴ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{6π}=\frac{1}{3}$，
$\frac{T}{2}=3π$，∴T=6π，∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{6π}=\frac{1}{3}$，
又∵A=2，∴$f（x）=2cos（\frac{1}{3}x+ϕ）$．
∵图象过点（0，1），∴2cosϕ=1，∵0＜ϕ＜π，∴$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=2cos（\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵$-\frac{3}{2}π≤x≤0∴-\frac{π}{6}≤\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，∴$当\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}=0即x=-π时，f{（x）_{max}}=2$．$当\frac{1}{3}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}即x=0时，f{（x）_{min}}=1$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．