Question

9．已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：
①若对于任意x₁，x₂且x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，则f（x）为R上的减函数；
②若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0则f（x）＞0的解集为（-2，2）；
③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函数；
④t为常数，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．
其中所有正确的结论序号为①．

Answer 1

分析 由单调性的定义，即可判断①；由偶函数的单调性可得f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，计算即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；由周期函数的定义，可得f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t-x），则f（x）关于直线x=t对称，即可判断④．

解答 解：对于①，若对于任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），则f（x）为R上的减函数，则①对；
对于②，若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0]内是减函数，则f（x）在[0，+∞）上递增，
f（2）=f（-2）=0，则f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜-2，则②错；
对于③，若f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），f（-x）-f（|-x|）=-f（x）-f（|x|），
即有y=f（x）-f（|x|）不是奇函数，则③不对；
对于④，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），即有f（x）=f（x+2t），
即f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t-x），
则f（x）关于直线x=t对称，则④错．
故答案为：①．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性以及周期性的判断和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．